TD 1 - 14 septembre 2015

Introduction Python, numpy, matplotlib

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Python est un langage :

  • interprété : les instructions sont lues et traduites en langage machine ligne à ligne.
  • non typé : Il n'est pas utile de préciser le type des variables : il sera directement assigné par l'interpréteur.

C'est un langage dont l'usage est extrêmement répandu dans les milieux académique et industriel.

IDE utilisé : IPython notebook Après avoir téléchargé Anaconda (distribution python incluant les package populaires:http://continuum.io/downloads) $ ipython notebook

I - fonctions de bases

1) List et slice

In [1]:
l = [10,11,12,13,14,15]
l[0]
Out[1]:
10
In [2]:
l.append(16) # ajoute un élément en fin de liste
l.count(14) # compte le nombre d'élements (=14)
Out[2]:
1
In [3]:
l[3:7] #slice entre 3 inclus et 7 exlus
Out[3]:
[13, 14, 15, 16]
In [4]:
s = 0
for i in l:
    s = s + i # une tabulation (ou 4 espaces) à l'intérieur d'une boucle ou d'une fonctions
s
Out[4]:
91
In [5]:
def my_function(x):
    
    return x[0] + x[2]
In [6]:
my_function(l)
Out[6]:
22

2) Array (tableau)

1 dimension

In [7]:
import numpy as np # import la librairie numpy (calcul scientifique) 
# Doc : http://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/
In [10]:
a = np.arange(5,15)
print(a)
[ 5  6  7  8  9 10 11 12 13 14]
In [11]:
a[0]
Out[11]:
5
In [12]:
a[(a%2==0)] # rend les termes paire
Out[12]:
array([ 6,  8, 10, 12, 14])
In [13]:
b = np.arange(0,1,0.1)
b
Out[13]:
array([ 0. ,  0.1,  0.2,  0.3,  0.4,  0.5,  0.6,  0.7,  0.8,  0.9])
In [14]:
b[[2,3,4]] # rend les élements de positions 2,3 et 4
Out[14]:
array([ 0.2,  0.3,  0.4])
In [15]:
a + b # somme terme à terme
Out[15]:
array([  5. ,   6.1,   7.2,   8.3,   9.4,  10.5,  11.6,  12.7,  13.8,  14.9])
In [16]:
b * 3
Out[16]:
array([ 0. ,  0.3,  0.6,  0.9,  1.2,  1.5,  1.8,  2.1,  2.4,  2.7])

2 dimension

In [19]:
A = np.array([[0,1,2],[3,4,5],[6,7,8]])
print(A)
[[0 1 2]
 [3 4 5]
 [6 7 8]]
In [20]:
I = np.eye(3,3)
I
Out[20]:
array([[ 1.,  0.,  0.],
       [ 0.,  1.,  0.],
       [ 0.,  0.,  1.]])
In [21]:
Z = np.zeros((5,2))
O = np.ones((5,2))
R = np.random.rand(5,2)
In [22]:
(Z + 1) * 3 
Out[22]:
array([[ 3.,  3.],
       [ 3.,  3.],
       [ 3.,  3.],
       [ 3.,  3.],
       [ 3.,  3.]])
In [24]:
R * Z # produit terme à terme
Out[24]:
array([[ 0.,  0.],
       [ 0.,  0.],
       [ 0.,  0.],
       [ 0.,  0.],
       [ 0.,  0.]])
In [25]:
v = np.array([0,1,10])
np.dot(A,v) #produit matriciel
Out[25]:
array([21, 54, 87])

3) plot et scatter

In [26]:
import matplotlib.pyplot as plt # librairie pour afficher les graphs.
# Doc : http://matplotlib.org/gallery.html, http://matplotlib.org/api/pyplot_api.html
%matplotlib inline 
# Affiche dans la fenêtre courante.
In [27]:
x = np.arange(-10,10,0.1)
y = np.cos(x)
plt.plot(x,y)
plt.title('cosinus')
plt.xlabel('abscisses')
plt.ylabel('ordonnées')
Out[27]:
<matplotlib.text.Text at 0x7f691d473828>
In [28]:
x = np.random.rand(100) * 10
y = np.random.rand(100) + 10
plt.scatter(x,y)
plt.scatter(np.mean(x),np.mean(y), c = 'red', s=100)
Out[28]:
<matplotlib.collections.PathCollection at 0x7f691d48a470>

II - Exercices

1) Produit scalaire

On rappelle que, pour $ x = (x_1,\ldots,x_n)$ et $y = (y_1,\ldots,y_n)$ dans $\mathbb{R}^n$, on définit le produit scalaire de $x$ et $y$ par $ = \sum_{i=1}^n x_i y_i = x y^T$.

Écrire deux fonctions prenant en entrée deux vecteurs (list ou array) :

  • La première devra calculer leur produit scalaire comme produit matriciel
  • La seconde devra calculer leur produit scalaire de manière itérative. ($len$ permet de connaitre la longueur d'une liste ou d'un tableau 1D).

Tester le temps de calcul de chaque méthode ( %timeit my_function(x,y) )

In [ ]:
 

2) Approximation de $\frac{\pi}{4}$ par Monte-Carlo

On désire approximer $\frac{\pi}{4}$ par méthode de Monte-Carlo. Un point tiré uniformément dans $[0, 1] \times [0, 1]$ est dans le quart de disque vérifiant $x^2 + y^2 \leq 1$ avec probabilité $\frac{\pi}{4}$.

a) Écrire une fonction qui :

  • prend en argument un entier $N$
  • tire $N$ points indépendemment et uniformément sur $[0, 1] \times [0, 1]$
  • affiche en rouge, avec la commande $plt.scatter$, les $n_1$ points dans le quart de disque de rayon 1
  • affiche en bleu les autres points
  • retourne le rapport $\frac{n_1}{N}$

b) Afficher l'évolution de $\frac{n_1}{N}$ en fonction de $N$. (on peut utiliser la fonction np.linspace(start, end,step))

In [ ]:
 

III - Scikit-learn

Machine Learning in Python

http://scikit-learn.org/

In [66]:
import sklearn # if not installed : pip install sklearn
In [67]:
X = [[0, 0], [1, 1]]
y = [0, 1]
# X : n_samples x n_features - data
# y : n_samples - labels
In [68]:
from sklearn import tree
#http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.tree.DecisionTreeClassifier.html
clf = tree.DecisionTreeClassifier() # clf : une instance de la classe 'DecisionTreeClassifier'
In [69]:
clf = clf.fit(X, y) # fit : s'entraine sur les données
In [70]:
clf.predict([[2., 2.]]) # predict : prédit le label d'une nouvelle donnée
Out[70]:
array([1])
In [71]:
clf.predict_proba([[2., 2.]]) # predict_proba : doone la distribution de probabilité
Out[71]:
array([[ 0.,  1.]])
In [72]:
clf.score(X,y) # évalue le score du classifier
# score = list(clf.predict(X) == y).count(True) / len(y)
Out[72]:
1.0
In [73]:
clf.feature_importances_
Out[73]:
array([ 1.,  0.])

a) Regression

data : 1 dimension

target : scalaire

In [112]:
# Create a random dataset
rng = np.random.RandomState(1)
X = np.sort(5 * rng.rand(80, 1), axis=0)
y = np.sin(X).ravel()
y[::5] += 3 * (0.5 - rng.rand(16))
In [120]:
from sklearn import tree

clf_1 = tree.DecisionTreeRegressor(max_depth=None)
clf_1.fit(X, y)
score_train = clf_1.score(X,y)

# Predict
X_test = np.arange(0.0, 5.0, 0.01)[:, np.newaxis]
y_1 = clf_1.predict(X_test)

# Plot the results
plt.figure()
plt.scatter(X, y, c="k", label="data")
plt.plot(X_test, y_1, c="g", label="", linewidth=2)
plt.xlabel("data")
plt.ylabel("target")
plt.title("Decision Tree Regression. score train = " + str(np.round(score_train,2)) +\
        " score test = " + 'not-implemented')
plt.legend()
plt.show()

Exercice 3) Regression

a) Evaluer le score du modèle sur un jeu de donnée test :

  • X_test = np.arange(0.0, 5.0, 0.01)[:, np.newaxis]
  • y_test = np.sin(X_test)

b) Dans une boucle, faire varier le paramètre 'max_depth' et afficher la prediction

c) Afficher l'évolution du score d'entrainement et du score de test

In [ ]:
 

b) Classification

data - n dimensions

target - labels

In [129]:
# Make data
rng = np.random.RandomState(13)
d1 = np.asarray(((np.arange(10) + rng.rand(10),np.arange(10)+ rng.rand(10)))).T
d2 = np.asarray(((np.arange(3,13)+ rng.rand(10),np.arange(10)+ rng.rand(10)))).T

X = np.vstack((d1,d2))
y = [0] * d1.shape[0] + [1] * d2.shape[0]
plt.scatter(X[:,0],X[:,1], c = y, s = 50)
Out[129]:
<matplotlib.collections.PathCollection at 0x7f3dc0879518>

Exercice 4) Classification

à l'aide de la fonction "plot_boundary" ci dessus et de la classe "tree.DecisionTreeClassifier", entrainer un classifieur sur les données et afficher les zones de prédictions.

In [29]:
# Ne pas s'attarder sur cette fonction pour le moment.
def plot_boundary(clf, X, y):
    # Affiche la carte avec les zones de chaque catégorie
    
    plt.figure()
    plot_step = 0.02
    x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
    y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
    xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, plot_step),
                         np.arange(y_min, y_max, plot_step))
    Z = clf.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
    Z = Z.reshape(xx.shape)
    cs = plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Paired)
    plt.scatter(X[:,0],X[:,1], c = y)
    plt.title('score = ' + str(clf.score(X,y)))
In [ ]:
 

Exercice 5) Multi class

Générer des données ayant aux moins trois classes et entrainer un un arbre de décision dessus.

In [ ]: