TD 1 - 30 septembre 2015¶

Introduction Python, numpy, matplotlib¶

Python est un langage :

interprété : les instructions sont lues et traduites en langage machine ligne à ligne.
non typé : Il n'est pas utile de préciser le type des variables : il sera directement assigné par l'interpréteur.

C'est un langage dont l'usage est extrêmement répandu dans les milieux académique et industriel.

I - fonctions de bases¶

1) List et slice¶

l = [10,11,12,13,14,15]
l[0]

10

l.append(16) # ajoute un élément en fin de liste
l.count(14) # compte le nombre d'élements (==14)

1

l[3:7] #slice entre 3 inclus et 7 exlus

[13, 14, 15, 16]

s = 0
for i in l:
    s = s + i # une tabulation (ou 4 espaces) à l'intérieur d'une boucle ou d'une fonctions
s

91

def my_function(x):

    if x < 0:
        z = 'negatif number'
    else:
        z = x*10
        
    return z

my_function(-3)

'negatif number'

2) Array (tableau)¶

1 dimension¶

import numpy as np # import la librairie numpy (calcul scientifique) 
# Doc : http://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/

a = np.arange(5,15)
print(a)

[ 5  6  7  8  9 10 11 12 13 14]

a[0]

5

a[(a%2==0)] # rend les termes paire

array([ 6,  8, 10, 12, 14])

b = np.arange(0,1,0.1)
b

array([ 0. ,  0.1,  0.2,  0.3,  0.4,  0.5,  0.6,  0.7,  0.8,  0.9])

b[[2,3,4]] # rend les élements de positions 2,3 et 4

array([ 0.2,  0.3,  0.4])

a + b # somme terme à terme

array([  5. ,   6.1,   7.2,   8.3,   9.4,  10.5,  11.6,  12.7,  13.8,  14.9])

b * 3

array([ 0. ,  0.3,  0.6,  0.9,  1.2,  1.5,  1.8,  2.1,  2.4,  2.7])

2 dimension¶

A = np.array([[0,1,2],[3,4,5],[6,7,8]])
print(A)

[[0 1 2]
 [3 4 5]
 [6 7 8]]

I = np.eye(3,3)
I

array([[ 1.,  0.,  0.],
       [ 0.,  1.,  0.],
       [ 0.,  0.,  1.]])

Z = np.zeros((5,2))
O = np.ones((5,2))
R = np.random.rand(5,2)

(Z + 1) * 3

array([[ 3.,  3.],
       [ 3.,  3.],
       [ 3.,  3.],
       [ 3.,  3.],
       [ 3.,  3.]])

R * Z # produit terme à terme

array([[ 0.,  0.],
       [ 0.,  0.],
       [ 0.,  0.],
       [ 0.,  0.],
       [ 0.,  0.]])

v = np.array([0,1,10])
print('A =',A)
print('v =',v)
print('A.v =',np.dot(A,v)) #produit matriciel

A= [[0 1 2]
 [3 4 5]
 [6 7 8]]
v= [ 0  1 10]
A.v= [21 54 87]

3) plot et scatter¶

import matplotlib.pyplot as plt # librairie pour afficher les graphs.
# Doc : http://matplotlib.org/gallery.html, http://matplotlib.org/api/pyplot_api.html
%matplotlib inline 
# Affiche dans la fenêtre courante.

x = np.arange(-10,10,0.1)
y = np.cos(x)
plt.plot(x,y)
plt.title('cosinus')
plt.xlabel('abscisses')
plt.ylabel('ordonnées')

<matplotlib.text.Text at 0x7fbf358d1908>

x = np.random.rand(100) * 10
y = np.random.rand(100) + 10
plt.scatter(x,y)
plt.scatter(np.mean(x),np.mean(y), c = 'red', s=100)

<matplotlib.collections.PathCollection at 0x7fbf337a0ef0>

II - Exercices¶

1) Produit scalaire¶

On rappelle que, pour $ x = (x_1,\ldots,x_n)$ et $y = (y_1,\ldots,y_n)$ dans $\mathbb{R}^n$, on définit le produit scalaire de $x$ et $y$ par $ = \sum_{i=1}^n x_i y_i = x y^T$.

Écrire deux fonctions prenant en entrée deux vecteurs (list ou array) :

La première devra calculer leur produit scalaire comme produit matriciel
La seconde devra calculer leur produit scalaire de manière itérative. ($len$ permet de connaitre la longueur d'une liste ou d'un tableau 1D).

Tester le temps de calcul de chaque méthode ( %timeit my_function(x,y) )

2) Approximation de $\frac{\pi}{4}$ par Monte-Carlo¶

On désire approximer $\frac{\pi}{4}$ par méthode de Monte-Carlo. Un point tiré uniformément dans $[0, 1] \times [0, 1]$ est dans le quart de disque vérifiant $x^2 + y^2 \leq 1$ avec probabilité $\frac{\pi}{4}$.

a) Écrire une fonction qui :

prend en argument un entier $N$
tire $N$ points indépendemment et uniformément sur $[0, 1] \times [0, 1]$
affiche en rouge, avec la commande $plt.scatter$, les $n_1$ points dans le quart de disque de rayon 1
affiche en bleu les autres points
retourne le rapport $\frac{n_1}{N}$

b) Afficher l'évolution de $\frac{n_1}{N}$ en fonction de $N$. (on peut utiliser la fonction np.linspace(start, end,step))

III - Scikit-learn¶

Machine Learning in Python¶

http://scikit-learn.org/

import sklearn # if not installed : pip install sklearn

1) Decision Tree¶

http://scikit-learn.org/stable/modules/tree.html

X = [[0, 0], [1, 1]]
# X : n_samples x n_features - data

y = [0.0, 1.0]
# y : n_samples - labels

from sklearn import tree
#http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.tree.DecisionTreeClassifier.html
clf = tree.DecisionTreeClassifier() # clf : une instance de la classe 'DecisionTreeClassifier'

clf = clf.fit(X, y) # fit : s'entraine sur les données

clf.predict([[2., 2.]]) # predict : prédit le label d'une nouvelle donnée

array([ 1.])

clf.predict_proba([[0., 0.51]]) # predict_proba : doone la distribution de probabilité

array([[ 0.,  1.]])

clf.score(X,y) # évalue le score du classifier
# score = list(clf.predict(X) == y).count(True) / len(y)

1.0

clf.feature_importances_

array([ 0.,  1.])

a) Regression¶

data : 1 dimension

target : scalaire

# Create a random dataset
rng = np.random.RandomState(1)
X = np.sort(5 * rng.rand(80, 1), axis=0)
y = np.sin(X).ravel()
y[::5] += 3 * (0.5 - rng.rand(16)) # ajout de bruit

from sklearn import tree

clf_1 = tree.DecisionTreeRegressor(max_depth=None)
clf_1.fit(X, y)
score_train = clf_1.score(X,y)

# Predict on test set
X_test = np.arange(0.0, 5.0, 0.01)[:, np.newaxis]
y_1 = clf_1.predict(X_test)

# Plot the results
plt.figure()
plt.scatter(X, y, c="k", label="data")
plt.plot(X_test, y_1, c="g", label="", linewidth=2)
plt.xlabel("data")
plt.ylabel("target")
plt.title("Decision Tree Regression. score train = " + str(np.round(score_train,2)) +\
        " score test = " + 'not-implemented')
plt.legend()
plt.show()

Exercice 3) Regression¶

a) Evaluer le score du modèle sur un jeu de donnée test :

X_test = np.arange(0.0, 5.0, 0.01)[:, np.newaxis]
y_test = np.sin(X_test)

b) Dans une boucle, faire varier le paramètre 'max_depth' et afficher les predictions

c) Afficher sur un même graphe l'évolution du score d'entrainement et du score de test

d) À l'aide d'un ensemble de validation, et sans utiliser l'ensemble de test, estimer la meilleur valeur pour 'max_depth'

b) Classification¶

data - n dimensions

target - labels

# Make data
rng = np.random.RandomState(13)
d1 = np.asarray(((np.arange(10) + rng.rand(10),np.arange(10)+ rng.rand(10)))).T
d2 = np.asarray(((np.arange(3,13)+ rng.rand(10),np.arange(10)+ rng.rand(10)))).T

X = np.vstack((d1,d2))
y = [0] * d1.shape[0] + [1] * d2.shape[0]
plt.scatter(X[:,0],X[:,1], c = y, s = 50)

<matplotlib.collections.PathCollection at 0x7f3dc0879518>

Exercice 4) Classification¶

à l'aide de la fonction "plot_boundary" ci dessous et de la classe "tree.DecisionTreeClassifier", entrainer un classifieur sur les données et afficher les zones de prédictions.

# Ne pas s'attarder sur cette fonction pour le moment.
def plot_boundary(clf, X, y):
    # Affiche la carte avec les zones de chaque catégorie
    
    plt.figure()
    plot_step = 0.02
    x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
    y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
    xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, plot_step),
                         np.arange(y_min, y_max, plot_step))
    Z = clf.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
    Z = Z.reshape(xx.shape)
    cs = plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Paired)
    plt.scatter(X[:,0],X[:,1], c = y)
    plt.title('score = ' + str(clf.score(X,y)))

Exercice 5) Multi class¶

Générer des données ayant aux moins trois classes et entrainer un un arbre de décision dessus.